最終更新:2016/05/22
つっぱり収納 NJ-0200・NJ-0201 [壁面収納ラック・お部屋の間仕切り収納]【突っ張り壁面間仕切り ラック幅88cm 連結用 背板無しタイプ】【送料オンラインショッピング無料】:アテーネ緒蚸様専用★棚・コンセント付きベッドフレーム ダブル ポケットコイル BR 激安大特価,品質保証 [p757414CU9X0 インテリア/住まい/日用品53] : 品質保証, 爆買いU-KANAYA アルミ削り出しギフトビレットフォークガード ガードカラー:グリーン リングカラー:チタン 汎用:バイクブロス支店ギフト シャネル CHANEL  アリュール オム エディション ブランシェ 50ml EDT SP B-CAT★送料無料!★【祭りだ!送料無料祭り(3000円以上)&最大P16倍】エディシオンブランシュ あす楽対応【最安値に挑戦】 香水 メンズ:香水通販B−CAT.COMパーティドレス★S~4L★結婚式 大人上品 贅沢花柄刺繍 ドレ 全国無料 ス ワンピース 全国無料 [9U153860132V54] : 数量限定, 全国無料 DAIWA / ダイワ ミリオネア バサラ ベイトリール 左ハンド通販ル  100H-L◆:barret 【代引き不マスク可】 軽中量棚 ND-1525R:激安工具のタツマックスメガMTプレゼントrT販売店 FENDI フェンディ 8C0496-00F09/F0PXB ベルト【ポイント10倍】:リコメン堂 ビノイエ 品番 D1ギフトA-2409E45K(R・L) NODAの建材:住まコレ 店江洋ラジエーター(KOYORAD) * スズキ エブリィ LA-DA32W G13B 01.05〜 (A/T・M/T車共用) NGK純正番号: 17700-78A50 相当品:カー用品卸問屋 NFR SRお中元P-114Rマフラー (ブルー) NRマジック NSR50:バイク メンテ館 東谷/あづまや【メーカー直送代引不可】 【Midi/ミディ】 買い物ローボード CFS-216 【同梱不可】 【沖縄・北海道・離島お届け不可/配送時間指定不可】:エムスタ ハンティングワールド HUNTING WORLD メンズ トートバッグ 7505A91-OL-NA オリーブ:リコメン堂寝具生活館販買い物売店 卓上手織機 RH-600 組み立て式:ゆめ画材 Dukane 456-8951P Projector Assembly with Genuine オリジナル Us通販hio Bulb Inside (海外取寄せ品):シアター ART WORK STUDIO アートワークスタジオ Couleur Glass Long Pendant クルールグラス ロング ペンダント AW-0366Z 電球なし お中元AM アンバー【送料無料】:citron glaces Castrol(カストロール) Power1 4T 10W-40 二輪車用 4ストロークエンジンオイル(20L):森の中のオーデカーオーディオィオ屋さん天皇陛下御即位記念金貨&皇太子殿下ご成婚記念金貨 格安,最新作 [pQ5 美術品/アンティーク9089051F1C5] : 人気定番, 超激得 レゴ レーサー LEGO Racers Car 8381:i-selプレゼントection (クーポン配布中)武川(タケガワ)通販 FRPフェンダーSET (8インチ)ツーピース 09-09-0034 【送料無料】(北海道・沖縄除く):PartsBoxSystemJapan販オフィス売店 プレジデントチェアー W-99 2色対応【F-78519】:エコノミーオフィス-オフィス家具 活オマール海老:World Fish Markeオンラインショッピングt TOS-WAY コクヨ A4サイズ対応 保管庫 引き違い戸タイプ 下置き 幅880×奥行400×高さ1060mロッカーm【S-345F1N】:エコノミーオフィス-オフィス家具 ナ買い物イキ Nike NFL Vapor Speed Pullover Hoodie - Men's - Minnesota Vikings - Purple / Gold メンズ 男性 衣類 アパレル パーカーとトレーナー:ロックオン アサヒペン AP スーパお中元ーメイクアップシート 90cm×15m W15-A7:アルクネット ビレロイ&ボッホ 食器セット マリフルール プレート 21cm 4枚セット 4100-2640X4(割引サービス不可、取り寄せ品キャンセル返品不可):ヘルシー救通販急BOX ベイリー ウエスタン Bailey Western Cooper II - Brown 帽子 キオンラインショッピングャップ:Mars shop (業務用30セット) ショショッピングウワノート 国語 JL-11-1 12行 10冊:アスリートトライブ【RSR】 ダウンサス 【HR-V】 GH1 / RS-R ダウン (1台分):Wheel-and-Tyre-お買い得shop_WAT SHAPERS FINS CARBON STEALTH QUAD-E / シェーパーズフ贈答品ィン FCS FUTURE Fin ショートボード用フィン サーフィン サーフボード:ボードショップ BREAKOUTU-KANAYA スタンダードタイプ ロングアルミビレットレバーセット レバー:通信販売ゴールド アジャスター:チタンカラー ドルソデューロ750:GooBikeParts支店【エントリーで店内全品ポイント10倍!5月25日(木)10:00〜】RS-R RSR SUPER DショッピングOWN オデッセイ RA1 RS-R H660SF フロント RS-R RSR:車高調 カー用品専門店 車楽院 【送料無料】ダウン85%入り羽毛合掛けふとんピンク NUF-2740 (杉本買い物産商)【代引不可】:立野機工のWEBショッピング 防犯・空き巣対策に電気錠 贈答品edロック edLOCK 9101-RA シルバー【在庫限り】:DIY Japan グレステンWタイフ肉スライサー゚ ペティーナイフ 012WK 12cm【業務用包丁】【洋包丁】【キッチンナイフ】【洋食包丁】【GLESTAIN】【業務用】:PRO-SHOP YASUKICHICDIYlazzio(クラッツィオ):シートカバー(ジュニア)(アイボリー) ホンダ N-BOX プラス/プラス カスタム EH-2043:イチネンネット トーヨータイヤ テオ プラス TEO PLUS + 4本セット 195/60R-14:オールドギア箕面店タイヤ サムソナイト ライトショック スピナー 81cmペトロールブルー Samsonite L買い物ite-Shock Spinner 98V-01-004 124L:ドリンクマルシェモンベル バロウバッグ #2 #1121272 【送料無料】【smtb-f】【CP】:YOSHIKI P2インターネップレゼントトショップ 【中古車椅子】カワムラサイクル 自走式車椅子 KAK18-40 こまわりくん(WC-4231):福祉用具リサイクル店ゆと通信販売りっぷ
分野: 解析  レベル: 大学数学

階乗 $n!$ の $n$ を正の整数でない部分にも定義できるように一般化した概念としてガンマ関数というものがある。


階乗の一般化であるガンマ関数の定義と基本的な性質を整理しました。

ガンマ関数の定義

定義はけっこうややこしいです,我慢して下さいm(__)m

実部が正であるような複素数 $z$ に対してガンマ関数 $\Gamma(z)$ を以下のように定義します:
$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

これは積分区間の上端が$+\infty$ であり,高校数学では扱いません。広義積分と呼ばれます。

さらに,実部が負であるような複素数に対しても解析接続というものを使ってガンマ関数の値を定義することができます(ただし,非正整数の部分では定義できない)。

正の実数に対してガンマ関数をプロットした図を示します。 $x$ の増加とともに $\Gamma(x)$ の値は爆発的に増えていきます。

階乗の一般化であること

ガンマ関数の定義では広義積分を使っていて一見複雑そうですが,実はガンマ関数は階乗の一般化になっています。

任意の正の整数 $n$ に対して, $\Gamma(n+1)=n!$

$1$ ズレることに注意して下さい。

これは部分積分を使って簡単に証明することができます。

証明

$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}dt=[-e^{-t}]_0^{\infty}=1$

また,任意の正の整数 $n$ に対して,
$\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-t}dt\\
=[-t^{n-1}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\{-(n-1)t^{n-2}e^{-t}\}dt\\
=0+(n-1)\int_0^{\infty}t^{n-2}e^{-t}dt\\
=(n-1)\Gamma(n-1)$

以上より $\Gamma(n+1)=n!\Gamma(1)=n!$ となる。

高校数学ではとりあえず便利だから $0!=1$,と定義されますが,$\Gamma(1)=1$ となることからも $0!=1$ とするのが自然だと言うことが分かります。

1/2でのガンマ関数の値

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

これはガウス積分を使うことで簡単に導出できます。→ガウス積分の公式の2通りの証明

証明

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$
ここで $t=u^2$ と置換すると,上式は
$\displaystyle\int_0^{\infty}u^{-1}e^{-u^2}2udu\\
=2\int_0^{\infty}e^{-u^2}du\\
=\sqrt{\pi}$

また,先ほどの部分積分を用いた議論により,$\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1)$ が $x$ が $1$ より大きい任意の実数のときに成り立つので,$\Gamma(n+\dfrac{1}{2})$ の値を求めることができます。

例えば,$0.5!$ に相当する値 $\Gamma(\dfrac{3}{2})$ は
$\Gamma(\dfrac{3}{2})=\dfrac{1}{2}\Gamma(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ であることが分かります。

その他

・大学入試にも役立つ積分公式としてベータ関数の積分公式というものを紹介しましたが,ベータ関数とガンマ関数には深い関係があります。

・階乗を近似する公式としてスターリングの公式を紹介しましたが,スターリングの公式は正の整数以外でも使えます。

高校時代,アルファベットの $T$(ティー)とギリシャ文字の $\Gamma$(ガンマ)を読み間違えて苦労したことがあります。
分野: 解析  レベル: 大学数学